历史销售信息对供应链牛鞭效应的影响

文章编号：1001-148X（2014）05-0177-08

摘要：在促销活动下，大量的产品需求会对分销商的订货与库存控制产生影响，而订货量不合理会产生严重的牛鞭效应。本文基于消费者的预期行为，以双十一促销为例，运用统计分析方法分析了在需求为价格敏感函数时，考虑由一个分销商和一个零售商组成的两级供应链，历史销售信息在促销背景下对分销商牛鞭效应的影响；同时，对比分析了分销商在利用现有销售信息和考虑历史销售信息进行需求预测时的牛鞭效应的大小，并得出利用历史销售信息可以降低牛鞭效应的结论。

关键词：双十一促销；价格预期；历史销售信息；牛鞭效应

中图分类号：F252文献标识码：A

收稿日期：2013-12-23

作者简介：田立平（1963-），男，河北乐亭人，北京物资学院信息学院教授，研究方向：模型分析与参数估计；

孙群（1989-），女，山东乳山人，北京物资学院信息学院研究生，研究方向：库存控制与管理。

基金项目：北京市教委科技面上项目，项目编号：SQKM201210037001；北京市教师队伍建设——教学名师项目资助。一、引言及文献研究

每年的“双十一”（11月11日），大型的电子商务网站如淘宝、天猫、京东等一般会在这一天来进行大规模的打折促销活动。双十一促销从2009年开始，由淘宝发起，实现了1亿元的销售额；2010年11月11日前后，发生了中国互联网最大规模的商业活动，淘宝商城“双十一”全场五折大促销曾创下单日10亿元的销售纪录； 2011年“双11”活动开始1小时累计消费439亿元；2012年双十一购物狂欢节在零点过后的1分钟内，有约1 000万用户涌入天猫，10分钟后销售额就突破25亿元，最终总销售额突破191亿，其中天猫132亿元，淘宝59亿元。2013年双十一的销售量更是突破了350亿。双十一销售额数据如图1。在电商连年的促销推动下，“11月11日”这个一度被戏称为“光棍节”的日子，已经变成名副其实的“网购狂欢节”。从2009年开始至今，每个双十一都是商家疯狂降价促销、消费者疯狂购买的时刻，因为人们认为双十一的价格会比平时低，从而形成了心理预期，纷纷等到双十一再大量购买商品。

图12009-2013年双十一销售额分布（单位为亿元）

牛鞭效应是指供应链中零售商对顾客的销售量与向供应商的订货量不一致的现象。由于信息发生歪曲，需求信息在从最终用户开始沿着供应链向零售商、分销商乃至原料供应商的传递过程中出现了逐级放大的现象，也即零售商向分销商发出的销售需求大于最终用户的实际需求，分销商向制造商发出的销售需求大于零售商的销售需求，以此类推，导致上游节点的需求波动程度大于下游节点的需求波动程度，这就是所谓的牛鞭效应（邵晓峰等，2001）。像双十一促销下这样大量的需求必然要增加商品的订购量和库存量以满足需要。由于存在需求信息预测是否准确的问题，商品的需求量与订购量之间会出现差距，而商品的需求量与订购量之间的差距又会导致牛鞭效应。牛鞭效应不仅会导致向供应商订货的订货量的方差大于销售给买方的，也会导致产品库存的积压或短缺等一系列现象。具体来说，由于较差的需求预测，制造商支付了超额的原材料成本或产生原材料短缺，额外的制造费用、加班费等以及高库存水平导致的超额仓储费用及大量的资金积压、高额的运输成本等都大大降低了企业的效益。牛鞭效应是供应链中的需求波动放大现象，它是供应链中最为重要的性能指标，也是供应链中最为重要的绩效指标。

现有文献从牛鞭效应的成因、影响因素、减弱方法等角度进行了研究。对牛鞭效应做出比较全面系统分析的是HauLLee，他认为牛鞭效应是供应链成员战略性行为相互影响的产物，并给出了牛鞭效应的主要四个来源：需求信号的处理、限量供应引起的短期博弈、批量订购方式、价格变动。之后的很多研究都是围绕这几个因素展开的。万杰等（2002）就是研究在限量供应情况下不同的分配机制对牛鞭效应的影响。根据是否产生牛鞭效应将分配机制划分为两大类—鼓励-响应直接机制和激励-扩大机制，证明和量化了激励-扩大机制中的线性分配机制对牛鞭效应的放大作用。刘红等（2007）研究需求信号的不同处理方式对牛鞭效应的影响，在市场消费需求为AR(1)自相关过程的基础上，采用订货点库存策略，将移动平均、一次指数平滑预测技术和均方误差优化预测技术产生的牛鞭效应进行量化和仿真，分析了不同预测技术对牛鞭效应的影响。章魏等（2010）考虑多产品市场需求的自相关性和互相关性对牛鞭效应的影响，证明了当零售商面临的需求平稳时，若零售商采用简单移动平均法预测需求，则供应链中必存在牛鞭效应，并采用了间隔需求预测法减弱了牛鞭效应。丁胡送等（2010）采用AR(1)自回归模型表示市场需求；市场需求的预测采用一次指数平滑法；市场预测需求即为计划订货量；而实际订货量还与生产能力有关。将生产能力假设为正态分布、指数分布、β分布的随机变量，并在正态分布下，证明了当生产能力发生变异即方差变化时，牛鞭效应的存在。

总第445期田立平：历史销售信息对供应链牛鞭效应的影响••••商 业 研 究2014/05以下是减弱牛鞭效应因素的研究。马云高等（2012）考虑需求依赖价格的需求函数模型，分析价格波动下消费者的预测行为对牛鞭效应及零售商库存的影响。消费者的预测行为是指考虑相邻两个时期的价格，近期价格高于上期，消费者认为价格会继续上涨，所以仍然会购买产品的现象。研究发现，消费者预测行为的存在有助于减小牛鞭效应和库存。李文立等（2012）基于零售商-分销商二级供应链视角，研究了当零售商的需求是线性自回归模式、分销商利用历史销售数据和现有销售数据进行预测时，自身库存成本及整个供应链牛鞭效应得到缓解。在何毅等（2007）的研究中，零售商采用(s,S)订货策略和移动平均预测技术，定量研究逆向物流中直接再利用产品对供应链牛鞭效应的影响。研究结论表明，逆向物流管理不仅能够削弱供应链中的牛鞭效应，而且这种削弱作用会随着产品回收率的提高而增强。Li和HauL认为影响牛鞭效应的因素主要是有限的容量、批量订货、季节性。系统的各级容量有限会减弱牛鞭效应，季节性也会掩盖牛鞭效应，时间聚集、产品或地区聚集也会掩盖牛鞭效应。从以上文献可以看出，在考虑促销因素对供应链牛鞭效应影响的研究文献不多，而结合类似双十一这样有影响的案例研究更少见。本文将结合双十一促销这一典型案例，针对促销对牛鞭效应的影响问题进行量化研究，从而得出一些很有实际价值意义的有效控制牛鞭效应的结果。

牛鞭效应的控制问题多数采用随机控制理论方法。卢震等（2003）对供应链中的不确定需求产生的牛鞭效应进行了随机控制。即把顾客的不确定需求看成噪声，为使随机扰动下牛鞭效应尽可能减弱，求解问题时采用卡尔曼滤波器对其进行控制。李翀等（2012）从供应链系统的角度研究牛鞭效应，运用系统动力学及系统稳定性理论分析，在信息共享受限条件下即库存状态信息及销售补偿量信息的可获得性不确定时的牛鞭效应抑制机制。考虑需求、生产能力、供应链结构等内外不确定性因素和供应链系统运作延迟，李翀等（2013）构建了不确定环境下含时滞的供应链库存网络系统状态转移模型，并在一定经济性能指标的基础上通过求解线性矩阵不等式对牛鞭效应进行了抑制。另外，李翀等（2013）基于供应链网络库存状态的内部系统动力学机制，构建库存系统的状态转移模型，并引入时滞因素，通过供应链网络系统的波动状态描述牛鞭效应。并提出了一类新的基于库存波动状态的动态供应链库存控制策略，有效地抑制了牛鞭效应。针对具有区间灰色特征的随机动态供应链系统，王道平等（2013）以线性时不变系统作为研究基础，提出使用马尔可夫算法解决供应链系统随机线性跳变的鲁棒性问题，获取了判定随机动态供应链系统鲁棒性的一个有效度量指标。Matloub Hussain等（2012）采用田口实验设计和系统动态仿真来量化供应链设计参数的影响。其中包括建立供应链仿真模型、介绍设计参数对库存水平和订购量的动态性影响、探索设计参数的变化和参数之间的交互对牛鞭效应测量的影响；并得出了生产或运输的延迟、调整库存时间的降低对减弱牛鞭效应有重要作用的结论。近几年，随着供应链企业之间合作的加深，VMI即供应商管理库存及CPFR等补货方式的采用也被证明是减弱牛鞭效应的有利方式。

随着信息技术和电子商务的发展，电子商务环境下的牛鞭效应控制策略研究也越来越被人们重视。黄小原等（2002）研究了具有单个分销中心和多个客户的单一产品的电子商务系统,建立了动态系统模型,在客户层最差需求波动条件下,应用H∞控制理论方法,设计了以订货作为控制变量和抑制牛鞭效应的H∞控制策略；并以一个石化企业的电子商务网站为对象,进行了仿真实验,结果表明电子商务系统的牛鞭效应得到了抑制。王静等（2003）研究电子商务环境下网络营销系统的牛鞭效应控制问题,建立了具有分销中心和多个客户的动态系统模型；同样应用H∞控制理论方法,得到了抑制牛鞭效应H∞控制策略，并以钢铁企业的电子商务网站为对象,进行了仿真实验,结果表明电子商务环境下网络营销系统的牛鞭效应得到了抑制。晏妮娜等（2006）建立了制造商直接通过Internet将产品传递给零售商的销售渠道及制造商通过分销商再传递给零售商的双源渠道；当双源渠道中低端需求剧烈波动,即最差外界扰动环境条件下,通过采用H∞控制算法，选取最优的订货量使双源渠道的牛鞭效应降低到最低程度；并结合钢铁公司电子商务的实际情况进行了仿真计算，验证了H∞控制算法对电子市场双源渠道牛鞭效应的抑制作用。唐亮等（2012）通过构建由状态变量和控制变量描述的NM(网络化制造)模式下的动态供应链时变偏差系统模型，采用线性矩阵不等式方法获取H∞鲁棒控制策略，并通过系统反馈控制器uk设计，有效减少客户不确定性需求引起的生产、订货和库存波动。

本文与以往研究的不同之处在于，结合双十一促销活动案例，针对促销因素对供应链牛鞭效应的影响进行量化研究；同时，分析历史销售信息对牛鞭效应的影响，证明了运用历史销售信息预测也是减弱牛鞭效应的一种有效手段。首先考虑需求对价格敏感的需求函数模型，分析消费者的价格预测行为对零售商的牛鞭效应的影响；其次，分析分销商利用历史销售信息进行需求预测对牛鞭效应的影响、并与未利用历史销售信息进行了对比；最后，使用算例验证了采用历史销售信息对牛鞭效应的减弱作用。

二、模型假设

比如像双十一促销这类限时促销，产品的价格较低，消费者大量购买产品是为了应对未来产品价格恢复正常后的需求。所以，消费者的需求不仅受当前价格影响，而且也会受零售商价格调整的幅度、消费者对零售商价格调整幅度的影响。因此，考虑消费者的价格预测行为，市场的需求函数为：

dt=d(pt,pt-1)=a-bpt-rb(pt-pt-1)，r∈［0,1］ （1）

式（1）建立了价格敏感的线性需求函数，右边第一部分a-bpt表示潜在市场需求，是t期价格的线性递减函数；第二部分rb(pt-pt-1)表示价格波动下消费者的价格预测行为对需求的影响，预计到价格即将要下降、过了促销时间价格肯定会恢复这一情况后，所以当消费者看到价格要下降时，肯定会加大购买量，以便在未来价格上升时减少需求量，以降低成本，反之一样。在模型中r≥0，如果r=0，则市场需求仅和t期价格相关，而忽略价格波动下消费者的价格预测对需求的影响。其中，dt为第t期市场需求，pt为第t期市场价格，且为满足pt~N(μ,σ2)的独立同分布的随机变量， r表示消费者对零售商价格调整幅度的关注程度。a为市场需求规模，b为价格敏感系数，a和b为非负常数。

本文假定在一个两级供应链中（见图2），存在着一个分销商一个零售商，零售商的市场需求为如上所述价格敏感的需求函数。假设从上游企业到分销商和从分销商到零售商的订货提前期分别为l和L，分销商的库存持有成本和缺货成本分别为h和p，零售商的库存持有成本和缺货成本分别为H和P，分销商和零售商的固定订货成本为0。

图2两级供应链结构图三、消费者预测行为下零售商的牛鞭效应分析

在一个由分销商和零售商组成的两阶段供应链中，零售商在t-1周期末观察到消费者的需求为dt-1，计算目标库存量为yt，在t期初向分销商订货qt，在t+L期初收到供货。

本文采用补充订货至目标库存的策略，根据提前期的需求预测来计算目标库存yt，

yt=d∧Lt+zσ∧Le,t（2）

其中，d∧Lt是提前期L内的需求预测值，需求预测误差σ∧Le,t=var(d∧Lt),安全因子z=Φ-1（P/P+H）。

零售商周期检查库存，为使在t周期库存水平保持在yt，向分销商发出的订货为qt，

qt=yt-yt-1+dt-1（3）

指数平滑是企业常用的预测技术，所以，假设文中零售商采用指数平滑法预测市场需求d∧t，

d∧t=αdt-1+(1-α)d∧t-1（4）

其中，α为平滑系数且0<α<1。

由（4）式可知提前期内的市场需求：

d∧Lt=Ld∧t（5）

由（2）、（3）、（4）、（5）式可得，

qt=L(d∧t-d∧t-1)+dt-1+z(σ∧Le,t-σ∧Le,t-1)=(1+αL)dt-1-αLd∧t-1+z(σ∧Le,t-σ∧Le,t-1)

定理1：提前期需求预测误差σ∧Le,t为不随时间变化的常数。

证明：由（4）式可知，

var(d∧t)=α2-αvar(dt)+2(1-α)2-αcov(dt-1,d∧t-1)

且cov(dt-1,d∧t-1)=αcov(dt-1,dt-2)，所以，

(σ∧Le,t)2=var(d∧Lt)=L2var(d∧t)=L2(α2-αvar(dt)+2(1-α)2-αcov(dt-1,dt-1∧))=L2(α2-αvar(dt)+2α(1-α)2-αcov(dt-1,dt-2))

由（1）式可知，

var(dt)=(1+2r2+2r)b2σ2

cov(dt-1,dt-2)=cov(a-(b+rb)pt-1+rbpt-2,a-(b+rb)pt-2+rbpt-3)=-r(1+r)b2σ2

所以(σ∧Le,t)2=（αb2(1+2r2+2r)-2α(1-α)r(1+r)b22-α）L2σ2。

由定理1可知，σ∧Le,t=σ∧Le,t-1,所以，

qt=(1+αL)dt-1-αLd∧t-1（6）

定理2：零售商的牛鞭效应表达式为：

BE=var(qt)var(dt)=(1+αL)2+α3L22-α-［2(1-α)α2L22-α-2αL(1+αL)］［αr(1+r)1+2r2+2r］

证明：var(qt)=(1+αL)2var(dt)+α2L2var(d∧t)-2αL(1+αL)cov(dt-1,d∧t-1)=［(1+αL)2+α3L22-α］var(dt)-［2(1-α)α2L22-α-2αL(1+αL)］［αr(1+r)］b2σ2

所以，

BE=var(qt)var(dt)=(1+αL)2+α3L22-α-［2(1-α)α2L22-α-2αL(1+αL)］［αr(1+r)1+2r2+2r］ （7）

定理3：零售商的牛鞭效应是消费者对零售商价格调整幅度的关注程度的增函数。

证明：BE=var(qt)var(dt)=(1+αL)2+α3L22-α-［2(1-α)α2L22-α-2αL(1+αL)］［αr(1+r)1+2r2+2r］

对（7）式求关于r的一阶导数，可得：

(BE)′r=-［2(1-α)α2L22-α-2αL(1+αL)］α×［r(1+r)2r2+2r+1］′=-α［2(1-α)α2L22-α-2αL(1+αL)］×2r+1(2r2+2r+1)2

由于α和L都是常数，且0<α<1，系数-α［2(1-α)α2L22-α-2αL(1+αL)］恒大于0，所以，(BE)′>0，即零售商的牛鞭效应是消费者对零售商价格调整幅度的关注程度的增函数。

四、分销商的库存模型分析

研究分销商的库存决策模型时，主要分为两个方面：分销商不利用历史销售信息和利用历史销售信息两种情况。为方便研究，假定分销商订货提前期为l=0。

（一）不考虑历史销售信息

在不考虑历史销售数据信息的情况下，分销商只能获得零售商的销售信息，即订货数量qt，则分销商在提前期内的需求，参考李文立等（2012）的研究，在t周期，在分销商订货提前期为0的情况下为：Ylt=∑l+1i=1qt+i=qt+1，则E(qt+1)=(1+αL)E(dt)-αLE(dt∧)=a-bμ。令V=var(qt+1)，var(qt+1)=var(qt)。

在分销商订货至库存策略下，最优库存水平：

Tt=E(qt+1)+kvar(qt)=a-bμ+kbσ

［(1+αL)2+α3L22-α］(1+2r2+2r)-［2(1-α)α2L22-α-2αL(1+αL)］［αr(1+r)］

其中，k=Φ-1(P/P+H)。

（二）利用历史销售信息

由于分销商不仅可以利用当期的销售数据，还可以利用近m期的销售数据进行销售预测。以双十一促销来说，为使得可以利用上一年的双十一期间的数据及使预测更准确，我们假设以三个月为一个订货周期，双十一促销活动从2009年开始，利用全部四年的销售数据进行销售预测。所以，令m=16。由（6）式可得：

dt-1=qt1+αL+αLdt-1∧1+αL

经过迭代，可得：

dt-1=qt1+αL+∑mi=2α2(1-α)i-2L1+αLdt-i+α(1-α)m-1L1+αLdt-m∧

所以qt=(1+αL)(dt-1-∑mi=2α2(1-α)i-2L1+αLdt-i-α(1-α)m-1L1+αLdt-m∧)

则qt+1=(1+αL)(dt-∑mi=2α2(1-α)i-2L1+αLdt+1-i-α(1-α)m-1L1+αLdt+1-m∧)

当m=16时，qt+1的期望和方差分别为：

E(qt+1)=(1+αL)(1-∑16i=2α2(1-α)i-2L1+αL-α(1-α)15L1+αL)(a-bμ)

令V′=var(qt+1)，则：

var(qt+1)=(1+αL)2［(1+∑16i=2(α2(1-α)i-2L1+αL)2+(α(1-α)15L1+αL)2•α2-α)var(dt)-(α(1-α)15L1+αL)2•2(1-α)α2-α•r(1+r)b2σ2+2α2Lrb2(1+r)σ21+αL-2α4(1-α)29L2(1+αL)2r(1+r)b2σ2-2α4L2r(1+r)b2σ2(1-α)［1-(1-α)28］(1+αL)2(2α-α2)］

则分销商的最优库存水平为：

T′t=E(qt+1)+kvar(qt+1)

下面从考察历史销售信息对库存波动的影响入手，分析历史销售信息对供应链牛鞭效应的影响。

设f=VV′，其中V表示未利用历史销售数据下的订货方差，V′表示利用历史销售数据下的订货方差，则可以用f来表示历史销售信息对供应链中牛鞭效应的影响，即f越大，说明历史销售信息的价值越大，反之亦然。由于f的形式较为复杂，以下采用算例进行数值分析，进一步说明历史销售信息对减弱牛鞭效应的作用。

五、算例分析

以双十一促销为例，在双十一促销情况下的某小商品的相关参数设置为：a=100,b=1,p=10,H=1,Pt～N(25,52)。分别在L=1,L=2时，未利用历史销售信息和利用历史销售信息的最优库存水平值如表1-表4所示。

表1未利用历史销售数据的分销商最优库存值（L=1）r

α 0.30.50.70.90.184.8286.6488.5590.490.386.7989.0491.3893.77 0.589.0291.8094.6797.590.791.6395.0598.56102.13

表2利用历史销售数据的分销商最优库存值（L=1）r

α 0.30.50.70.90.190.7792.6094.5096.450.3109.13111.37113.70116.080.5126.29129.02131.85134.730.7143.48146.80150.20153.66

从表1-表4可以看出，当α、r、L的值一定，利用历史销售数据的分销商最优库存值略总是大于未利用历史销售数据的分销商最优库存值；当α、L的值一定，随着r值的增大，利用历史销售数据和未利用历史销售数据的分销商最优库存值都增大；当α、r值一定时，随着L值的增大，利用历史销售数据和未利用历史销售数据的分销商最优库存值都增大；当L、r值一定，随着α值的增大，利用历史销售数据和未利用历史销售数据的分销商最优库存值也都增大。

表3未利用历史销售数据的分销商最优库存值（L=2）r

α 0.30.50.70.9 0.185.7387.73 89.82 91.950.389.7292.57 95.52 98.540.594.3198.21 102.22106.320.799.73104.92110.25115.66

表4利用历史销售数据的分销商最优库存（L=2）r

α 0.30.50.70.9 0.197.6499.64 101.72103.850.3134.33137.15140.07143.060.5168.61172.39176.28180.250.7202.97207.89212.92218.01

通过数值计算发现当α的值较小时，利用历史销售数据的价值不明显，所以选取较大的α值，通过计算f的值得出历史销售数据的价值。

当α=07,L=1时

表5历史销售数据价值仿真值（L=1）rVV′f0.1100.34 92.29 1.0870.3125.74115.981.0840.5155.05143.311.082

当α=07,L=2时

表6历史销售数据价值仿真值（L=2）rVV′f0.1219.06 186.871.1720.3276.59 237.541.1640.5342.97 2961.159

当α=09,L=1时

表7历史销售数据价值仿真值（L=1）rVV′f0.1138.42118.211.1710.2175.76151.241.1620.3155.05143.311.082

当α=09,L=2时

表8历史销售数据价值仿真值（L=2）rVV′f0.1343.46 262.62 1.3080.3439.41 341.33 1.2870.5550.13 432.16 1.273

我们知道，f越大，说明历史销售信息的价值越大。随着r和α值的不同，历史销售信息的价值也会不同，但总体来说，利用历史销售信息后的订货量的波动总小于未利用历史销售信息的情况。从表5和表6对比、表7和表8对比可以看出，当参数α和r保持不变时，L越大，历史销售信息的价值越大；从表5、表7，表6和表8可以看出，当参数r和L保持不变时，参数α的值越大，历史销售信息的价值越大；从表5-表8可以看出，当参数α和L值一定，r的值越小，即历史销售信息的价值越大。

六、结论

本文研究促销背景下历史销售信息对供应链牛鞭效应的影响，并以双十一促销为例进行了具体分析。得出了以下结论：

结论1：零售商的牛鞭效应是消费者对零售商价格调整幅度的关注程度的增函数。即r的值越大，说明消费者对促销降价越关注，则零售商的牛鞭效应越大。

结论2：当α、r、L的值一定，利用历史销售数据的分销商最优库存值略总是大于未利用历史销售数据的分销商最优库存值；当α、L的值一定，随着r值的增大，利用历史销售数据及未利用历史销售数据的分销商最优库存值都增大；当α、r值一定，随着L值的增大，利用历史销售数据及未利用历史销售数据的分销商最优库存值都增大；当L、r值一定，随着α值的增大，利用历史销售数据及未利用历史销售数据的分销商最优库存值也都增大。

结论3：当参数α和r保持不变时，L越大，即零售商订货提前期越大，历史销售信息的价值越大；当参数r和L保持不变时，参数α的值越大，即平滑系数越大，历史销售信息的价值越大；当参数α和L值一定，r的值越小，即消费者对零售商价格调整幅度的关注程度越小，历史销售信息的价值越大。

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Impacts of Historical Sales Information on Bullwhip Effect of the Supply

Chain-Under the Background of Dual Eleven PromotionTIAN Li-ping, SUN Qun

(School of Information, Beijing Wuzi University, Beijing 101149, China)

Abstract：In the promotion, a large number of products demand will affect the ordering and inventory control for the distributors, and ueasonable order quantity will bring serious bullwhip effect. The paper considers the two echelon supply chain composed of a distributor and a retailer under the background of double eleven promotion, and studies the effect of historical sales information on bullwhip effect of the distributors based on consumers′ expected behavior. When the demand is price sensitive function, it uses the method of statistical analysis to analyze the effect of promotion on retailers′ bullwhip effect; at the same time, it compares the bullwhip effect when retailers use existing sales information and historical sales information to forecast demand, drawing a conclusion that the historical sales information can significantly reduce the bullwhip effect; the numerical examples are presented to validate the results.

Key words：double eleven promotion; price expectations; historical sales information; bullwhip effect

（责任编辑：严元）

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