王睿洁
《义务教育数学课程标准》指出：“为了培养学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力，教师在课堂教学中，要有意识地引导学生通过独立思考、自主探索和合作交流等学习方式，使学生掌握数学的基本知识和基本技能。”变式教学，通过有效问题串的形式带领学生层层递进，引发学生进行深度思考，揭示数学知识的发展过程和本质，让学生厘清知识脉络，深入了解数学思维的变化过程，有助于学生数学知识体系的自我构建，凸显课堂教学的有效性。
二次函数综合题是在学习其他简单函数以及初中阶段代数和几何基础上，同时与方程、不等式、特殊三角形、特殊平行四边形、三角形的全等、相似或面积相等等知识有机结合，对学生综合分析问题以及解决问题的能力要求较高。因此，在学习二次函数综合题的时候，很多学生会产生畏难情绪，题目稍加改变就不知如何下手。本文通过对一道二次函数简单习题进行变式教学，通过改变条件、改变问题、改变情景，一题多变，让学生有更多的思考空间，有更多的机会挖掘和发现问题之间的联系，更深入地发现应用问题之间的区别、内在联系、解法的共性等，从而拓展学生的思维，达到减负提质的目的。在变式教学中，让学生学会解决问题的方法，并加以归纳、总结，形成技巧，学会用这些方法解决其他问题，培养学生知识、方法的迁移能力，激励学生透过现象抓住本质，以“不变”应“万变”，从“万变”中探索“不变”。
题目：如图1所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线x=2交x轴于点D，已知点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，5）。求该抛物线的解析式与顶点E的坐标。
笔者围绕这道题目进行变式，从不同角度进行拓展和延伸，把分散的知识点串成一条线，总结出了七类题型。
一、二次函数与线段最值问题的综合
变式1：在线段BC上有一点P，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点Q，当线段PQ长度最大时，求点的坐标。
变式2：在线段BC上有一点P，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点Q，当ΔBCQ面积最大时，求P点的坐标。
变式3：在线段BC上有一点P，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点Q，当点P运动到什么位置时，四边形CDBQ的面积最大？求出四边形CDBQ的最大面积及此时点的坐标。
第一类问题是以二次函数为背景，求线段最值的综合题。变式2与变式3都可以转化为变式1求解。只要建立我们熟悉的“铅垂高，水平宽”模型，通过求二次函数以及直线BC的解析式，设出点P的坐标，表示出点Q的坐标，再利用二次函数求解线段的最值即可解决问题。其中，变式2里ΔBCQ面积最大可以看成是变式1里铅垂高PQ长度最大；
变式3四边形CDBQ的面积可以看成是ΔBCQ和ΔBCD的面积之和，而ΔBCD的面积不变，也就转化为变式2中ΔBCQ面积最大的问题。
二、二次函数与线段和、差最值存在性问题的综合
变式4：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PA+ PC取到最小值？如果存在，求出P点坐标以及最小值；
如果不存在，请说明理由。
变式5：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使ΔCAP的周长取到最小值？如果存在，求出P点坐标以及最小值；
如果不存在，请说明理由。
变式6：在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使|QB-QC|取到最大值？如果存在，求出Q点坐标以及最大值；
如果不存在，请说明理由。
第二类问题是以二次函数为背景，求线段和、差最值存在性问题的综合题。变式4利用抛物线的轴对称性质，找到A点的对称点B点，PA+PC就转化为PB+PC，当P、B、C三点共線时，由两点之间线段最短可知PB+ PC取到最小值，即PA+PC取到最小值，最小值为线段BC，这就转化为熟知的“将军饮马”问题。变式5由于AC是定值，所以变式5要使ΔCAP周长最小，只要PA+ PC最小，转化为变式4中的问题，当然也可以利用三角形两边之和大于第三边这一性质来说明。为进一步熟悉三角形三边关系，达到触类旁通，增加了变式6两条线段差的绝对值最大问题，由三角形两边之差小于第三边这一性质来说明。解法都是作其中一个定点关于对称轴的对称点来求解。
三、二次函数与特殊三角形存在性问题的综合
变式7：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使ΔPCB为等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；
如果不存在，请说明理由。
变式8：在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ΔQCB为直角三角形？如果存在，求出Q点的坐标；
如果不存在，请说明理由。
从几何的角度来看，等腰三角形存在性的基本模型是“两圆一线”，直角三角形存在性的基本模型是“两线一圆”，通过画出不同的图形进行分类讨论，数形结合利用方程思想、解析几何等知识求解。等腰三角形主要利用三线合一重要性质、直角三角形主要利用两条直线互相垂直k1·k2=-1以及构造一线三垂直模型求解。从代数的角度来看，根据动点的特殊位置，设出动点坐标，利用两点之间距离公式分别求出特殊三角形三条边的长度，再根据题意进行分类求解即可。等腰三角形分别以谁为腰三种情况进行讨论，即PB=PC、BP=BC、CB=CP；
而直角三角形分别以谁为斜边三种情况进行讨论，即QB2+QC2=BC2、BC2+QC2=QB2、QB2+BC2=QC2。
第三类问题是以二次函数为背景，求特殊三角形存在性问题的综合题。此类题型中可以抓住动点P出现在不同的位置，比如坐标轴上进行变式，达到异题同构，提升归纳，从变中发现不变，总结解题规律。当然也可以延伸到矩形、菱形存在性问题，实质上就是矩形先找到直角三角形存在，菱形先找到等腰三角形存在，再利用平行四边形对角线互相平分的性质，利用中点公式求解。
四、二次函数与平行四边形存在性问题的综合
变式9：在x轴上是否存在点M，对称轴上是否存在点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出N点的坐标；
如果不存在，请说明理由。
变式10：在x轴上是否存在点M，抛物线上是否存在点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出N点的坐标；
如果不存在，请说明理由。
变式11：在y轴上是否存在点M，抛物线上是否存在点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出N点的坐标；
如果不存在，请说明理由。
第四类问题是以二次函数为背景，求平行四边形存在性问题的综合题。此类题型中主要抓住动点M、N出现在不同的位置满足不同的条件，可以是y轴，甚至也可以是平面上的任意一点。这几个变式分别使动点出现在对称轴及坐标轴上等不同位置，但是平行四边形存在性问题不变，不论是几何法还是代数法都还能继续使用，经过这几个变式让学生学会并掌握解决此类问题的通式通法。
五、二次函数与方程、不等式问题的综合
变式12：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图1所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0有实数根，求t的取值范围。
变式13：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图1所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0在-1 变式14：若二次函数的解析式为y1=ax2+bx+c的图像如图1所示，直线BC的解析式为y2=mx+n，请直接写出当x满足何值时，ax2+bx+c≤mx+n。 变式15：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如上图所示，点Q（m，n）在该二次函数图像上，若点Q到y轴的距离小于3，请根据图像直接写出n的取值范围。 第五类问题是以二次函数为背景，主要是用函数的思想来解决方程、不等式问题的综合题。变式12～变式14，无论是方程还是不等式，我们只需要将其看成是两个函数，利用函数的图像与性质求解即可。变式12中将方程ax2+bx+c-t=0变形为ax2+bx+c=t，看成y1=ax2+bx+c与y2=t，把一元二次方程有实数根转化为两个函数有交点这一问题求解； 六、二次函数与三角形相似存在性的综合 变式16：在线段BC上有一动点P，过点P作PF⊥x于点F，交抛物线于点Q，连接QC，是否存在点Q，使得ΔPQC和ΔPFB相似？若存在，求出点P坐标； 变式17：在线段BC上有一动点P，是否存在点P，使得ΔPOC和ΔABC相似？若存在，求出点P坐标； 这两个变式归纳了相似三角形存在性的两种基本情况，首先找到一组对应的点，再选择一组角对应相等或者把对应角夹住的对应边成比例来进行分类、讨论、求解。 七、二次函数与三角形面积问题的综合 变式18：在抛物线上是否存在一点P，使得SΔPAB=SΔABC？如果存在，求出P点的坐标； 变式19：在抛物线上是否存在一点P，使得SΔEBC=SΔPBC？如果存在，求出P點的坐标； 变式20：在抛物线上是否存在一点P，使得2SΔEBC=SΔPBC？如果存在，求出P点的坐标； 第七类问题是以二次函数为背景，围绕三角形面积的综合题。三角形面积相关的问题通常可以利用作平行线法，同底等高面积相等求解，要注意平行于底边的平行线有上下两条。变式18比较容易就能发现相同的底是AB，因此只要满足P点到底AB的距离等于C点到AB的距离，即P点纵坐标为±5，代入求解即可。而变式19由于底不在水平线上，因此本题求解有较大的难度，这里介绍两种解法，一种就是利用平行线法求解，利用两条直线互相平行k1=k2这一性质求出过点E的关于直线BC平行的直线，再求出该平行线与抛物线的交点即可，再根据对称性，利用一组平行线之间轴交点距离相等求出另一条平行线，同样的方法求出该平行线与抛物线的交点即可。另一种可以用“铅垂高，水平宽”模型求解，注意动点的位置来进行分类讨论，为了体现通式通法，变式20改变了面积之前的比例系数，方法不变。 至此，通过改变条件、改变问题、改变情景，把一道二次函数习题进行了20次的变式，从多层次的维度考查了二次函数与其他相关数学知识相结合的各种综合题的运用。通过本题的变式教学，让学生体会到二次函数在初中数学中的重要地位，也让学生享受并掌握到这么多综合题的解题技巧与解题方法，构建二次函数的知识脉络，树立学习二次函数综合题的信心，培养学生的数学核心素养。 变式教学可以提高课堂教学效率，减轻学生学习的负担。教学中通过一个问题解决一类问题，有效地扩充课堂教学容量，从而真正达到减负提质的目的。 作为教师，我们不仅要有良好的变式意识，还要遵循变式教学的一般规律，会用娴熟的变式方法，合理安排适合变式教学的教学内容。如果教师能够把握变式教学的正确方法和尺度，在数学教学中恰当地使用变式教学，就能够有效地帮助学生从“题海战役”中解放出来，建立清晰的知识体系，掌握各种解题方法与解题技巧，对培养学生创造性思维，激发学生学习数学的兴趣，将起到非常积极的作用，这也是培养学生数学核心素养背景下教师需要深度思考的地方。
变式13是在变式12的基础上，只是二次函数y1不是整个抛物线，而是在-1
若不存在，说明理由。
若不存在，说明理由。
如果不存在，请说明理由。
如果不存在，请说明理由。
如果不存在，请说明理由。
变式14是平时作业考试中经常出现的，我们只要抓住临界点（即交点）来判断即可。变式15是近几年宁波中考的一个趋势，从函数图像的本质出发，根据确定的x（或y）的取值范围，从数到形，结合图像，再从形到数求得对应的y（或x）的取值范围，体现了数形结合这一非常重要的数学思想。<>