摘要： 金属铜作为一种十分重要的资源在世界经济发展的过程中发挥着越来越重要的作用。金属铜被广泛地运用在建筑、装饰、电线电缆制造等方面。期铜价格不仅对企业投资决策很重要，而且对矿业权评估来说也是一个很重要的参数。文章以期铜每年的中间价格作为历史数据，根据散点图，运用对多项式拟合方法对其价格进行预测。分别用excel的添加趋势线法和变量替换法这两种方法，基于同一数据，进行了非线性拟合，综合评判后，认为第一种方法较优。
Abstract： Copper as an important resource in the process of development of the world economy is playing an more and more important role. Copper is widely used in construction， decoration， electric wire and cable manufacturing etc. Copper price is important not only for enterprise decisions， but also for mining right evaluation. This paper takes the annual medium prices of the copper as historical data， uses the polynomial fitting method to estimate the price based on the scatter plot diagram. Based on the same data， it uses respectively the excel add a trend line method and the variable substitution method for a nonlinear fitting， the first approach is preferred after an integrated appraisal.
关键词： 非线性规划；变量替换；预测
Key words： nonlinear regression；variable substitution；prediction
中图分类号：F224.9 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）21-0055-02
0 引言
非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。以1951年H.w.库恩和A.W.塔克发表的关于最优性条件（后来称为库恩——塔克条件）的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。非线性规划就是一般的规划，只要线性规划问题中的目标函数或约束条件函数不是线性形式，问题就成为非线性规划。非线性问题，在很多情况下，都可能通过变量的适当变换，把非线性函数转换为线性函数，对新的变量作线性回归，然后再回到原来的变量。Sas，Spss，matlab，eviews等专业软件都具有预测功能，但这些专业软件不易掌握操作方法。文章主要用大家比较熟悉的、常用的excel来实现。根据问题的性质，拟合曲线可以是指数曲线、对数曲线、多项式曲线等。具体采用何种曲线，分析者可以根据自变量和因变量观测值做出的散点图来确定。
1 非线性规划问题的数学模型
1.1 非线性规划模型
min f （x）h■（X）=0，i=1，2，3，…，mg■（X）≥0，j=1，2，3，…，l
其中自变量X=x■，x■，…，x■■是n维欧式空间En中的向量（点）；f（X）为目标函数，hi（X）=0和gj（X）≥0为约束条件。
1.2 多项式拟合模型
对于给定一组数据{（xi，yi），i=1，2，3…N}，若采用多项式模型对该数据进行描述，且拟合的目标是对于形如y（x）=
f（a，x）=a1xn+a2xn-1，…，anx+an+1的n阶多项式模型，求取参数a1，a2，…，an，an+1，使下列x2量最小。
x■（a）=■■■=■■■
在Δyi=Δy不变的假设下，使上式达到最小值的解是：■=V/y。
文章介绍直接利用excel散点图配合添加趋势线来确定。这种方法简单易学，更容易掌握，效果也很好。
2 应用实例
我们以上海期货交易所，期铜中间价为基础数据，建立金属铜的价格预测模型，并利用该模型进行2011年的价格预测。（表1）
方法一： 利用添加趋势线的功能求解趋势方程并进行预测
先根据历史数据，做出散点图，再运用excel添加趋势线的功能，可以看出历史数据趋势呈非线性，方程为多项式，根据阶数不同，得到趋势线方程以及R平方值如图1和图2所示。
对于多项式拟合曲线来说，一般为保证计算精度，拟合阶数一般不超过5（excel提供的拟合阶数为2-6）。阶数太低，拟合就粗糙，阶数太高，拟合就容易“过头”。从图1和图2中可以看出，2阶和3阶的多项式拟合曲线效果偏差。通过对4阶和5阶多项式曲线方程的预测值与历史数据的折线图对比（见图3）可以看出，5阶预测值在2006年以后突然偏离历史数据，发生“过头”现象，虽然它的R平方值大于4阶对应的R平方值，但不是最佳的拟合曲线。综合考虑，4阶多项式方程的拟合度更好。
所以，此方法得到的多项式拟合方程为：
y=0.0073x4-0.1917x3+1.673x2-4.9325x+5.6055，其中
R2=0.8689，由此方程可以预测2011年的金属铜价格为7.44万元/吨。与2011年金属铜的中间价的差为7.44-6.40=1.04（万元/吨）。
方法二：对于一般的非线性方程，可以通过变量替换，把非线性方程变成线性方程，然后再用线性回归的方法求解。根据上面计算，我们假设拟合曲线方程为：y=f（a，x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，现令x2=U，x3=V，X4=Z，则有y=f（a，x）=a0+a1x+a2U+a3V+a4Z，方程变成以x，U，V，Z为自变量的多元线性方程。
现通过excel生成回归报告的方法求解方程系数，从回归报告可以看出：a0=15.12629，a1=-12.3344，a2=3.584477，a3=-0.39189，a4=0.014652，R2=0.900275
所以，拟合曲线方程为：
y=f（a，x）=15.12629-12.3344x+3.584477x2-0.39189x3+
0.014652x4，由此方程可以预测2011年的金属铜价格为9.91万元/吨。与2011年金属铜的中间价的差为9.91-
6.40=3.51万元/吨。
3 结论
通过上面两种方法建立的多项式拟合模型预测的2011年金属铜的价格与实际价格的比较，可以看出：方法一求的拟合曲线方程残差优于方法二，方法一的R平方值小于方法二的R平方值，方法一预测值和实际值偏差小，方法二预测值和实际值偏差大。综合考虑，我们认为方法一求得的模型较优。
参考文献：
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