【摘 要】三重积分的计算是高等数学中的一个难点，教师教学时可以从积分区域的表示方法上入手，再将积分区域的表示方法与积分计算方法进行对应，最终可以顺利的将三重积分化为三次积分计算出来。
【关键词】三重积分计算；教学方法
一、打好空间图形的基础
三重积分的积分区域Ω是三维空间中的物体，它是由一些曲面包裹而成的，所以弄清楚曲面的类型和外形特征非常重要，这就需要教师在高等数学空间解析几何这一章，尤其是空间曲面的相关知识：曲面的方程表达式、曲面的图像等方面加大记忆训练和巩固练习。经常用到的一些曲面，比如平面Ax+By+Cz+D=0；球面x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0；柱面f（x，y）=0、φ（y，z）=0、ψ（x，z）=0；圆锥面z2=k2（x2+y2）；椭球面 ；双曲面 ；抛物面 等，教师要让学生经过练习后，能够做到看到方程马上可以说出曲面的名字、画出曲面的图像。只有打好了空间图形的基础，建立了良好的空间想象力，这样在三重积分上就迈开了坚实的一步。
二、用不同方式表示积分区域Ω
用集合表示空间区域的方法有很多，但是此处表示空间区域主要是针对的三重积分的计算，所以表示空间区域的方法就跟三重积分的计算方法做个对应。传统教学中三重积分的计算方法有：穿针法（也称“先一后二”）、截面法（也称“先二后一”）、球面坐标换元法、柱面坐标换元法，其中柱面坐标换元法实质上就是穿针法在表示投影区域时用到了极坐标形式，所以主要针对前三种形式来训练学生表示Ω。教师要引导学生按照这三种形式、从不同角度观察，用尽可能多的方式来表示Ω。下面通过三个具体的空间区域来介绍一下表示方法。
经过训练学生尝试多种方法表示Ω后，学生自然就可以发现各种方法的适用类型，教师这时可以启发学生做一些经验的总结，比如，从单纯区域表示的层面来讲，穿针法和截面法用的最广泛，球面坐标适用的往往都有球面参与构造Ω。
三、选择合适的计算方法
一般的教材都对各种计算方法做了一定的适用性结论，比如，截面法较多适用于被积函数仅含有单一变量的情形；球面坐标换元法常适用于被积函数或者Ω的边界方程含有x2+y2+z2的情形；柱面坐标换元法常用于被积函数是关于x2+y2的函数以及投影区域D的边界与圆形有关的情形。所谓合适的计算方法，就是相对而言计算量不大、思路不复杂、容易想到、便于理解的方法。但是怎样才能快速的找到合适的计算方法，这需要一个熟练的过程，所以教师要鼓励学生尝试多种方法，即使不是最优的方法，只要能够解出题目就达到了训练的目的，同时学生也可以在尝试计算过程中总结经验，找到最好的方法。积分区域Ω的表示方式将会决定后续的计算形式。下面通过三个分别在上一部分的三个空间区域上进行三重积分的题目来理解这句话。计算下列三重积分：
解题思路：（1）穿针法：
通过上面三个题目的解答，教师要让学生意识到每种方法将三重积分化成三次积分在形式表达上是不难的，难度就体现在后续的计算上了，比如第一题用三种方法从形式表达到计算的难度相似，都不难；第二题形式表达和计算难度用穿针法比截面法都要麻烦很多；第三题形式表达穿针法和球面坐标换元法比截面法简单，但是计算要属球面坐标换元法最简单。通过观察，三题虽然都能用截面法求出，但是第二题是最适合截面法的，因为正如一般教材上介绍的，截面法最常用于被积函数是单一变量的积分，加上此题截面面积易求，所以此题首选截面法。
四、多练习、勤总结
教师按照前面三步做好教学，让学生知道了怎样表示积分区域，知道了怎样计算三重积分，但是要达到学生自己能够熟练的选用最合适的方法计算出三重积分的目的，还需要做大量的练习教师要针对每种类型布置相应的题目给学生做作业，要求学生完成作业的同时要不断总结思考，这样三重积分的计算就不是难题了。
参 考 文 献
[1]华中师范大学数学系编.数学分析[M].武汉：华中师范大学出版社，2001
[2]华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001